potencia

Objetivos:
Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste nono tutorial será visto o sistema de cálculo com potências, bem como serão colocados exemplos para fixação de conteúdo. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

POTÊNCIAS

* Definição

Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido in = potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i).

Exemplos de fixação da definição:

Potência = 23
2 x  2 x  2 = ( 03 fatores) = 8

Potência = 35
3 x 3 x 3 x 3 x 3  = (05 fatores) = 243

Notação:  23 = 8
                        2 - BASE
                        3 - EXPOENTE
                        8 - POTÊNCIA

Notação: 35 = 243
                       3 - BASE
                       5 - EXPOENTE
                       243 - POTÊNCIA

Alguns casos particulares:

1) Expoente igual a um (1)

(1/2)1 = 1/2
51 = 5
31 = 3

2) Expoente igual à zero (0)

50 = 1
60 = 1
70 = 1

Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será igual a 1.

Mais Exemplos de fixação da definição:

1) 53 = 5 x 5 x 5 = 125
2) 40 = 1
3) 100 = 1
4) 201 = 20

* Propriedades de Potências

- Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1) 24   ÷ 2 =  24-1  = 23
2) 35   ÷ 32 =  35-2  = 32
3) 46   ÷ 43 =  46-3  = 43

Temos então:  Im ÷ In = Im-n  , I#0

- Produto de potência de mesma base

Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.

Exemplos de fixação:

1) 24  x 2 =  24+1  = 25
2) 35   x 32 =  35+2  = 37
3) 46   x 43 =  46+3  = 49

Temos então:  Im x In = Im+n

- Potência de Potência

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.

Exemplos de fixação:

1) (23)4   =  212  , pois = 23  x 23  x 23 x 23
2) (32)3   =  36  , pois = 32  x 32  x 32
3) (42)5   =  410  , pois = 42  x 42  x 42 x 42 x 42

Temos então:  (In)m   = Inxm

- Potência de um produto

Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência.

Exemplos de fixação:

1) (b5ya3 )4   =  b20y4a12
2) (c2d2e5 )2   =  c4d4e10
3) (d3a4 )3   =  d9a12

Temos então:  (I.T)m   = I m x T m

- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.

Exemplos de fixação:

1) 2-4   =  1/24   = 1/16
2) 3-3   =  1/33   = 1/27
3) 4-2   =  1/42   = 1/16

Temos então:  (I)-m   = 1/I m I#0

- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência.

1) (a/b)4   =  a4/b4   = b#0
2) (a2 /b4)3   =  a6/b12   = b#0
3) (a3 /b2)3   =  a9/b6   = b#0

Temos então:  (a/b)m   = am/bm   b #0

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :

1) Para se elevar 10n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.

Exemplos de fixação:

a) 104 = 10000
b) 106 = 1000000
c) 107 = 10000000

2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.

Exemplos de fixação:

a) 10-4 = 0,0001
b) 10-6 = 0,000001
c) 10-7 = 0,0000001

3) Decompondo números em potências de 10

Exemplos de fixação (números maiores que 1):

a) 300 = 3.100 = 3.102
b) 7000 = 7.1000 = 7.103
c) 10.000 = 1.10000 = 1.104

Exemplos de fixação (números menores que 1):

a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10-3
b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10-4
c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10-5

- Potência de números relativos

a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.

Veja: (+2)2 = 4  / / (-2)4   = 16

b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.

Veja: (+3)3 = 27  / / (-3)3   = -27

Observação importante: -22   # (-2) 2  , pois -22   = -4 e (-2) 2  = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.